Econometría y el Estimador de Interpolación [MARTIN, J.M.]

Prof. Mg. José-Manuel Martin Coronado
Instituto de Econometría de Lima
www.institutoeconometria.com

En matemática se enseña religiosamente a resolver sistemas de ecuaciones lineales, donde X e Y son las incógnitas, que dependen de algunos coeficientes ya dados por el ejercicio, usualmente denominados a, b, c, d, e y f, es decir:
(1a)    aX + bY = c
(1b)   dX + eY = f

Así mismo, existen dos formas tradicionales de desarrollar este problema, ya sea despejar en función de una de las incógnitas en una ecuación y luego reemplazar dicho resultado en la otra; o bien encontrar un factor k que permita eliminar una de las incógnitas a través de la suma o resta de las ecuaciones, para luego identificar una de las incógnitas y nuevamente reemplazarlas en la otra ecuación. 

Lo que a veces no se enseña (o se enseña menos) es a resolver estos problemas de manera genérica o abstracta, es decir, no otorgarle valores reales a los coeficientes, sino mantenerlos como "incógnitas" es decir valores no definidos, aunque igual con la utilidad de valores reales. En otras palabras, utilizando la técnica de despeje, se podría obtener el siguiente proceso de resolución y resultado:

(2a)      Y = c/b - a/bX 
(2b) Y = f/e - d/eX
(3)    c/b - a/bX = f/e - d/eX
(4) d/eX - a/bX = f/e - c/b
(5)   X(d/e - a/b) = f/e - c/b
(6) Xo = (f/e - c/b)/(d/e - a/b)
(7) Yo = c/b - a/b[(f/e-c/b)/(d/e - a/b)]

Lo bueno de las reglas genéricas abstractas es que pueden aplicarse a cualquier caso, y ese verdadero poder de la matemática. Si bien se le imponen valores específicos a cada coeficiente, esto tiene se suele hacer para darle mayor visión práctica del mismo para motivar a los alumnos a la obtención de una solución exacta, a costa del poder predictivo generalista de dicha técnica. 

Cabe recordar que en este modelo y algoritmo de resolución, los elementos X e Y son las incógnitas, mientras que los coeficientes son, en realidad, "datos". Esta idea podría no tener ninguna relevancia adicional, sino fuera por el hecho que en Econometría los Betas (Bo y B1) son las incógnitas, mientras que los datos son las variables X e Y, las cuales podrán contener 1, 2 ó n valores.

Ahora bien, el/la alumno/a aplicado/a podrá notar que cada ecuación conlleva un conjunto de datos diferentes, es decir, la primera fila tiene a, b y c mientras que la segunda tiene a d, e y f. Esta precisión no es ociosa, dado que debe quedar claro que cada fila adicional implicará un conjunto de datos diferentes, mientras que cada columna adicional implicará una incógnita más.

Considerando lo anterior, es necesario reescribir las ecuaciones 1a y 1b con los betas como incógnitas, es decir: 
(8a)    aBo + bB1 = c
(8b)   dBo + eB1 = f

El lector puede notar que esta ecuación es un poco extraña, pero es mucho más cercana al caso econométrico. No obstante, debe recordarse en econometría el Bo suele denominarse intercepto, por lo que se encuentra sólo, es decir, sin ningún tipo de coeficiente que le multiplique, entonces:

(9a)    Bo + b/aB1 = c/a
(9b)   Bo + e/aB1 = f/d

En adición a ello, en las ecuaciones econométricas no se suele usar la forma canónica sino una forma más simple y despejada del lado izquierdo de la ecuación, es decir:

(10a)    c/a = Bo + B1.b/a 
(10b)   f/d = Bo + B1.e/a

Tal como puede observarse, ahora existen dos datos (combinaciones de coeficientes) por ecuación, todos diferentes entre sí. Y dado que se sabe que la estructura de una ecuación de una línea recta despejada es: Yi = a+bX = Bo+B1Xi, entonces las ecuaciones indicadas se pueden reescribir así:

(11a)    Y1 = Bo + B1.X1 
(11b)   Y2 = Bo + B1.X2

De ello, puede deducirse que se mantiene la relación ecuación = conjunto de datos. Al respecto, el principal error de un estudiante es pensar que Y1 y Y2 son dos variables diferentes y por ello dos incógnitas diferentes, con lo cual pueden llegar a la conclusión de que en este sistema hay cuatro incógnitas y sólo dos coeficientes. Ya se ha indicado que la lectura es al revés, las incógnitas son los betas y los datos son los Yi e Xi.

Por lo tanto, si las incógnitas son ahora los betas, entonces son éstos los que deben ser despejados y reemplazados de una ecuación a la otra ecuación y ya no los valores de Yi ó de Xi. Es decir, 

(12a)    Bo = Y1-  B1.X1 
(12b)   Bo = Y2 -  B1.X2
(13) Y1 - B1.X1 = Y2 - B1.X2
(14) B1.X2 - B1.X1 = Y2 - Y1
(15) B1 = (Y2 - Y1)/(X2 - X1)
(16) B1 = ΔY / ΔX


Así, puede verificarse que la solución para este sistema equivale a la fórmula de la pendiente de cualquier recta, siendo este denominado el estimador de interpolación. Y por el lado del Bo, se utilizará la técnica de reemplazar, tal que:

(17) Bo = Y1 - B1.X1
(18)  Bo = Y1 - (Y2-Y1)/(X2-X1).X1
(19) Bo = (Y1X2 - Y2X1)/(X2 - X1)

Se reitera que estas fórmulas genéricas del estimador de interpolación (Interpolation Estimator, IPE) son generalizables y aplicables a cualquier caso, es decir, la solución Beta = [(Y2-Y1(/(X2-X1); (Y1.X2-Y2.X1)/(X2-X1)] siempre que se tenga una pareja de puntos. Caso distinto será cuando hayan más parejas o bien más variables. 

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