Martin (2021) ¿Qué son los modelos VAR?

José-Manuel Martin Coronado
Director
Instituto de Econometría de Lima
www.institutoeconometria.com

El acrónimo VAR hace referencia a los Vectores AutoRegresivos. Para entender dicho concepto es necesario descomponerlo.  

¿Qué es un vector? Un vector es un conjunto ordenado de elementos tal que, x = (x1, x2 , x3, x4).  Dichos elementos pueden representar elementos no ordenadas ó bien elementos que representan una variable, por ejemplo el precio, tal que vector p = (p2017, p2018, p2019, p2020).  Aún más, un vector puede ser un agrupamiento de otros vectores (variables), tal que, vector w = (v1, v2 , v3, v4).

¿Qué quiere decir autorregresivo? Para ello es necesario regresar al concepto de regresión, es decir, y = f(x) = b0+b1*x. No obstante, la palabra auto hace referencia a "a sí mismo", esto quiere decir ¿y = f(y)? ¿No es una tautología? A fin de ser preciso, sería una relación matemática de este tipo yt = f(yt-1), denominada correlación dinámica ó intertemporal, también conocido como Modelo Autorregresivo Univariante, es decir, yt = b0+b1*yt-1.

¿Es suficiente? No, es necesario además entender el concepto de Modelo autorregresivo multivariante (a través de la existencia de variables independientes), por ejemplo,  yt = b0+b1*yt-1+b2*xt ó yt = b0+b1*yt-1+b2*xt+b3*xt-1 (dinámico puro). Nótese que ambos modelos toman en cuenta el efecto contemporáneo (inmediato) entre xt e yt.

No obstante, si se analiza con más detenimiento es posible encontrar más de una relación intervariable. ¿Qué pasaría xt = g(yt-1)? ¿Cuántas regresiones existirían? Dos. Esto se convetiría en un modelo multiecuacional, tal que,
yt = b0+b1*yt-1+b2*xt+b3*xt-1
xt = a0+a1*xt-1+a2*yt+a3*yt-1

Este tipo de modelo es denominado "modelo simultáneo", ya que las variables xt e yt son dependientes e independientes al sismo tiempo. 

De otro lado, no debe olvidarse que las variables xt e yt no son también vectores que contienen datos, es decir, yt = (y2017, y2018, y2019, y2020) ó xt = (x2017, x2018, x2019, x2020). ¿Puede existir entonces un vector llamado vt = (xt,y)? Si. Del mismo modo, también vt-1 = (xt-1 , yt-1 ). ¿Siguiendo el análisis anterior, puede correlacionarse dinámicamente los vectores vt y vt-1? Sí. Entonces palabras, el modelo multiecuacional simultáneo puede expresarse como, vt = f(vt-1).

A fin de lograr lo antes indicado, es necesario aplicar algunas restricciones iniciales, por ejemplo, lo relativo a los efectos contemporáneos. Es decir, s b2=0 y a2=0 entonces el modelo quedaría como sigue:
yt = b0+b1*yt-1+b3*xt-1
xt = a0+a1*xt-1+a3*yt-1

Tal como puede observarse, el efecto contemporáneo puede ser un caso especial de modelo VAR, dónde es distinto a 0. De otro lado, resulta necesario representar este tipo de modelos con ayuda de las matrices, como complemento de los vectores; para ello, se buscará reordenar la ecuación a fin de poder hacer las operaciones matriciales:
yt = b0+b1*yt-1+b3*xt-1
xt = a0+a3*yt-1+a1*xt-1

Con lo cual, puede realizarse el siguiente producto interno de matrices:
 yt = b0+[bb3]*[yt-1  xt-1 ]'
xt = a0+[aa1]*[yt-1  xt-1 ]'

Finalmente, agrupamiento las variables contempráneas por un lado y las rezagadas por otro, se tiene 
 [yt  x]' =       b0  | + | b    b|* [yt-1  xt-1 ]'
                       a0  |     | a3     a1 |                    

Con lo cual, se concluye que el modelo var se puede escribir de la siguiente manera:

vt =       | b0  | + | bb|* vt-1
         | a0  |     | aa|     

vt =       C + B vt-1
         
Tal como se ha indicado, el estudio de los modelos VAR no termina aquí. En efecto, existe toda una familia de Modelos VAR. Por ejemplo, la consideración explícita de los efectos contemporáneo (SVAR) ó la eliminación de algunos efectos rezagadas (SVAR) ó la inclusión de exógenas puras (VARX)

Así mismo, existe la posibilidad de que los parámetros no sean constantes. Una forma es a través de un modelo de cambio estructural con umbrales ó valores límite/umbral/valor de corte, lo cual se denomina funciones quebradas, función indicador ó función de activación, cuyos betas cambian, según el lado del umbral (Threshold) en el cual se encuentre (TVAR); o la relativización cuasi total de los parámetros a través de su variabilidad en el tiempo (TVP-VAR, Time varying parameters) ó vt = C + Btvt-1  donde B contiene parámetros tal que bk,t = f(t, bk,t-1 ).

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