¿Qué son los modelos dinámicos? [Martin, 2025]
¿Qué son los modelos dinámicos?
Mg. José-Manuel Martin Coronado
Docente Instituto Econometría de Lima
En este artículo se abordará el tema de las trayectorias en la economía dinámica, destacando la importancia de considerar el tiempo en los modelos económicos, a diferencia de los modelos estáticos. Si bien la estática comparativa permite analizar cambios entre dos momentos distintos, la economía dinámica requiere ajustes diferentes para incorporar el tiempo. Usualmente, la economía dinámica se analiza desde el punto de vista macroeconómico, pero que también se pueden representar dinámicas interesantes desde una perspectiva microeconómica.
Por ejemplo, partiendo de un análisis de estáticaca comparativa de la oferta y demanda en un mercado, un modelo dinámico incluirá dos series de tiempo: una para la variable X y otra para el precio (P). Al cambiar la demanda, tanto el precio como la cantidad aumentan, lo que representa una nueva situación de equilibrio en un modelo de serie de tiempo, más acorde con la economía dinámica. Esto permite visualizar la evolución de precios y cantidades, ya que cada punto representa un punto de equilibrio, lo que facilita la predicción del futuro al analizar las trayectorias de las variables económicas para prever su nivel final.
De este modo, los modelos matemáticos y la inteligencia artificial pueden usarse para crear modelos predictivos. Si bien algunas técnicas pueden ser abstractas, las trayectorias son una herramienta útil para comprender el comportamiento futuro de una variable. Esto podría compararse con la conducción de vehículos y aviones, donde es crucial predecir las trayectorias para evitar colisiones. Así, puede definirse a una trayectoria como la representación del comportamiento de una variable en el tiempo, aplicando este concepto a variables económicas como la inflación y los precios de los bienes raíces.
En efecto, en economía dinámica, las variables evolucionan con el tiempo, lo que puede dar lugar a estimaciones a corto, mediano y largo plazo, siendo estas dos últimas las más relevantes. También existen dos notaciones principales para variables que cambian con el tiempo: el uso de subíndices (Vt) y el uso de paréntesis (V(t)). Cabe precsiar que la segunda, aunque más común entre ingenieros y físicos, puede ser confusa y más difícil de leer.
Otro tema de interés para el modelamiento es definir si el tiempo es discreto o continuo. Puede deducirse que es esencialmente continuo, pero en el análisis empírico se realizan cortes discretos para la recolección de datos, lo cual permite verlo desde un punto de vista discreto. Por ejemplo, algunas bodegas cierran su caja al final del día, lo que marca el inicio de un nuevo día contable, aunque las boletas y facturas registran el momento exacto de su emisión. Si el tiempo se toma como discreto, los modelos pueden trabajarse con ecuaciones en diferencias, lo que es consistente con los datos, permite iteraciones, y el uso de sumatorias en lugar de integrales.
Regresando a la teoría económica, existe el modelo de consumo intertemporal, un modelo económico con valores en diferentes períodos, que requiere el uso de un factor de descuento para ajustar los valores, ya que no pueden sumarse directamente debido al valor del dinero en el tiempo, y que para fines prácticos en modelos dinámicos, se prefiere usar un período inicial cero (c_0). Así mismo, el factor de descuento solo se aplica en períodos distintos al presente, y al generalizar este modelo, se transforma en una formulación matemática que incorpora el tiempo. No obstante, este modelo presentado es en realidad una restricción presupuestaria intertemporal, la cual se acompaña de una función objetivo relacionada con el consumo intertemporal, que puede formularse de diversas maneras, siendo la más sencilla el logaritmo del consumo. Nuevamente, si el tiempo es discreto, se utiliza una sumatoria, mientras que, si es continuo, se usa una integral para optimizar. Este tipo de modelo es más avanzado y recae en el ámbito del control óptimo y/o programación dinámica.
En general, las variables cambian en el tiempo, y a priori podría desconocerse cuales son las variables que determinan su comportamiento. En caso no existe una variable determinística explicativa, se trataría de un caso de random walk o caminata aleatoria. ¿Qué es un valor aleatorio en una variable? ¿Es lo mismo que el ruido blanco? En efecto, el random walk implica que una variable no está determinada por ninguna otra, sino por el azar, por ejemplo a una persona que camina por una feria sin un camino predefinido. En términos de series económicas, el Random Walk es el movimiento aleatorio de una variable a lo largo del tiempo, con el mercado de valores ó el mercado bursátil es un ejemplo. Otro ejemplo podría ser el Bitcoin, el cual sube y baja de manera impredecible, y no hay una ecuación matemática sencilla para definir su movimiento.
Complementariamente al elemento aleatorio puede existir un componente determinístico. Por ejemplo, en el caso de las ventas de una empresa, además del elemento aleatorio, puede dependenr de la cantidad de personas que transitan por un lugar, lo que puede influir en las ventas de un restaurante, y este elemento determinístico permite generar una función determinística que depende del tiempo. Así, las ventas pueden depender del tiempo, aumentando a medida que pasa el tiempo. Pero también pueden existir cambios de tendencia, como en el caso de los ingresos de una persona que pueden disminuir después de un pico.
Por lo expuesto, las variables económicas pueden depender del tiempo y también de otras variables que cambian con el tiempo, o incluso de esa misma variable en periodos anteriores. Con ello, se introduce el concepto de método recursivo, bastante conocidos en macroeconomía, por ejemplo en las ecuaciones de Bellman y Euler. Así, los métodos recursivos se utilizan ampliamente en diversos campos como la economía y la estadística, y que la combinación de diferentes tipos de modelados con múltiples variables y términos aleatorios es posible, aunque los modelos más complejos pueden ser más difíciles de construir.
En general, un modelo puede resultar en que muchas variables no sean relevantes, quedándose solo con una, como el tiempo, lo que depende de los métodos estadísticos utilizados. Así, los modelos de tendencia lineal, es decir, que dependen del tiempo son los más comunes y fáciles de usar, aunque a veces se puede obtener linealizando una estructura no lineal Cobb-Douglas con logaritmos. J
Un aspecto importante, es entender la dualidad entre la dinámica tendencial como el modelo más básico y la dinámica autorregresiva, es decir, un modelo recursivo puede convertirse en tendencial y viceversa. Por ejemplo, en caso se tengan datos de una variable de ventas (V), para T períodos, y se especifica un modelo lineal, tal que 100 es el intercepto y 20 la pendiente: V_t = 100+20*t. En este modelo de tendencia, si el tiempo es cero, el valor de V es 100, que corresponde al valor de V en el período cero. No obstante, el valor esperado de la variable V es 150, que es el promedio de los seis valores proporcionados, y que el promedio representa la mitad del rango de datos, pero no el inicio o el final del análisis.
Cabe precisar que si se definen los errores como la diferencia entre el estimado y el observado son necesariamente cero en un modelo MCO o de regresión simple, especialmente cuando se usa el intercepto, lo cual es una propiedad típica, pero si no se usa el intercepto, el promedio de los errores no será cero. De otro lado, al calcular la derivada de V_t con respecto al tiempo, se obtienen cinco valores en lugar de seis, ya que el incremento comienza con el tiempo uno.
Siguiendo con el enfoque tendencial, los coeficientes y pendientes deberían ser iguales independientemente del periodo en el cual se evalua. Esto permite generar una ecuación al restar los coeficientes y pendientes, tal que: dV_t = b_0+b_1*t - (b_0+b_1*(t-1)+e_t-1)+e_t = -b_1 + (e_t - e_t-1+e_t). Al hacer esto, la esperanza de la diferencia de los errores se anula, resultando en un valor fijo para la esperanza de la diferencia V_t.
Queda claro que en los modelos de tendencia, la variable tiempo tiende al infinito, lo que trae problemas que necesitan solución, como la imposibilidad de saber exactamente por dónde irá un avión en un vuelo largo. Aunque el valor de V_t tiende al infinito, el valor dela diferencia de V_t es constante, lo que permite la concreción numérica al aplicar la derivada o diferencia para estabilizar los datos. En el ejemplo propuesto, el promedio de la diferencia V_t se mantiene en 20 a largo plazo, aunque los datos observados oscilan alrededor de ese valor. Es decir, en promedio constante, pero el dato observado es oscilante, lo que puede resultar en una oscilación convergente, divergente explosiva o divergente estable. Conviene precisar que el concepto de regresión lineal es una suposición de que los datos regresan a un promedio, ya sea constante o creciente, y esto es útil para el análisis de la convergencia o divergencia de una trayectoria.
En particular, el análisis del modelo en diferencias puede ser una conocida ecuación contable (dV_t = V_t - V_t-1), pero también una proporcionalidad respecto a las ventas del período anterior (dV_t = a_1*V_t-1). Esto permite calcular los valores de manera más precisa, como si las ventas aumentaran cada mes en una proporción a las ventas del mes anterior. Reemplazando esta ecuación diferencial en la ecuación en niveles se obtiene: V_t = dV_t + Vt-1 = a_1*V_t-1 + V_t-1 = (1+a_1)*V_t-1 = b_1*V_t-1 Con este análisis, uno podría encontrar un alfa era menor que uno (pero positivo), lo cual haría que el beta fuera mayor a 1.
Puede observarse que el análisis de convergencia y divergencia en la dinámica autorregresiva depende de los valores de alfa y beta, y que si el valor absoluto de beta 1 es 1, V_t converge a cero. Además, si el valor de b_1 es mayor que 1, entonces V_t no converge y se va hacia el infinito. Y si b_1 es es igual a 1 o -1, no hay dinámica en Vt, lo que significa que si bien dV_t es cero, V_t no converge.
Una extensión común del modelo autoregresivo incluye añadir un componente constante, al que algunos llaman "drift", donde si b_1 es menor que 1, el valor de V convergerá a b_0 / (1-b_1). Nuevamente, si b_1 es mayor o igual a 1, no habrá convergencia o la tendencia será hacia el infinito, lo que se asemeja a un modelo de tendencia lineal. Por ejemplo, con un b_1 estimado de 1.08, se tiene una tendencia de crecimiento. Se trata de una serie que se vuelve explosiva y tiende al infinito.
En general, existe una equivalencia entre las ecuaciones de tendencia y autoregresiva, por lo que es importante explorar si es más fácil estimar un modelo tendencial o autorregresivo, sin aferrarse a ninguna de las opciones, y que la convergencia del modelo depende de si b_1 es menor que 1, tanto en el modelo auteregresivo o el modelo tendencial en potencias (V_t = b_0.b_1^t)
Otra extensión del modelo es necesaria cuando el método de iteraciones para resolver ecuaciones de diferencias se vuelve muy complejo al trabajar con dos o tres diferencias. Así, surge la técnica de las ecuaciones características o polinomios característicos. Esta técnica implica reordenar la ecuación, moviendo las variables al lado izquierdo y las constantes al derecho, y luego reemplazando las variables con potencias de r (raíz) para formar un polinomio característico que se iguala a cero. Por ejemplo, si V_t = b_0+b_1V_t-1+b_2V_t-2 , entonces V_t - b_1V_t-1 - b_2V_t-2 = b0, por lo tanto, r^2 - b_1.r - b_2 = 0. El objetivo de esta técnica es analizar la estabilidad del modelo y determinar si las raíces son menores a uno, lo cual está relacionado con el concepto del círculo unitario en econometría.
En conclusión, existen diversas técnicas en los modelos dinámicos para poder realizar un análisis de corto, mediano y largo plazo, que eventualmente culminarán en la identificación de convergencia o divergencia de una serie, permitiendo también visualizar la trayectoria de la misma, con la finalidad de tomar decisiones económicas tomando en cuenta un escenario futuro desconocido.
Lima, 21 de julio de 2025
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