Martin C, J.M. (2020) La Identificación en los modelos económicos
- Por ejemplo, se puede tener varios modelos con las mismas exógenas pero con diferente exógena. (1) SUR
y1 = a0+a1x1+a2x2
y2 = b0+b1x1+b2x2
O por ejemplo, se puede tener varios modelos con regresores endógenos, además de lo indicado anteriormente. (2) (Cruzadas ó Simultánea sin exclusión)
y1 = a0+a1x1+a2x2 + a3y2
y2 = b0+b1x1+b2x2 + b3y1
O también, se puede tener varios modelos con regresores endógenos, pero no con las mismas exógenas (3).
y1 = a0+a1x1+ a3y2
y2 = b0+b2x2 + b3y1
(simultánea con exclusión)
Incluso, se puede tener varios modelos con regresores endógenos pero solo en una misma ecuaciòn, pero con las mismas exógenas (4). (Recursiva sin exclusión)
y1 = a0+a1x1+a2x2+ a3y2
y2 = b0+b1x1 +b2x2
O sino, con diferentes exógenas (5). (Rec. con exclusión)
y1 = a0+a1x1+a2x2+ a3y2
y2 = b0+b1x1
Puede observarse que los modelos multiecuacionales puede encuadrarse en esos cuatro (05) tipos.
Por lo tanto corresponde averiguar, cuáles de esos cinco modelos se encuentran identificados, cuales sobreidentificados o cuales subidentificados.
Nótese que este caso se está analizando cuando existe más de una endógena el lado izquierdo de la ecuación. Aunque dicha condición no es necesaria para que exista un modelo multiecuacional. Por ejemplo (6):
y = a0+a1x1
y = b0+b1x1
Aunque puede verse que esto implica dos relaciones ecuacionales distintas pero sólo dos variables, tomando en cuenta que todos los coeficientes son diferentes.
Este es entonces un típico caso de subidentificación. Esto es justamente que puede haber más de una solución a los coeficientes que relacionan a los modelos. ¿Existe esto en la práctica? Claramente :
Oferta: Q = a+bP y Demanda: Q = c-dP.
La solución de este modelo subidentificado es su forma reducida que da valor fijo para cada variable, llamado punto de equilibrio.
a + bP = c-dP → bP+dP = c-a → P(b+d) = (c-a)
Entonces P = (c-a)/(b+d)
Luego Q = a+b(c-a)/(b+d) = (ad+bc)/(b+d)
Sea el ejemplo (3), endógenas cruzadas (también conocido como modelo simultáneo) con exógenas excluidas, tal que:
y1 = a0+a1x1+ a3y2
y2 = b0+b2x2 + b3y1
Puede observarse que la ecuación 1, excluye a la exógena x2, mientras que la ecuación 2, excluye a la exógena x1.
Si se reemplaza la segunda ecuación en la primera (lo cual es opcional, podría hacerse al revés), entonces:
y1 = a0+a1x1+ a3(b0+b2x2+b3y1)
y1 = a0+a1x1+ a3b0+a3b2x2+a3b3y1
y1 - a3b3y1 = a0+a1x1+ a3b0+a3b2x2y1
y1= (a0+a1x1+ a3b0+a3b2x2)/(1-a3b3)
y1 = (a0+a3b0)/(1-a3b3)+a1/(1-a3b3)x1+ [a3b2/(1-a3b3)]x2
y1 = c0+c1x1+ c2x2
Puede observarse que al hacer el reemplazo, la aparente exclusión, desapareció. Se ha pasado de una forma estructural (con restricciones ó exclusión) a una forma reducida (sin exclusiones). [Esto no quiere decir que toda ecuación sin exclusiones sea una forma reducida]
Luego, se reemplaza y1 en la ecuación de y2:
y2 = b0+b2x2 + b3(c0+c1x1+ c2x2)
y2 = (b0+b3c0)+b3c1x1+(b2+b3c2)x2 = c3+c4x1+c5x2
Como se recordará este procedimiento es similar al de las funciones anidadas que permiten la estimación indirecta de coeficientes.
Básicamente, se ha realizado el siguiente proceso:
y1 = fE(x1,y2) y1 = fR(x1,x2)
y2 = fE(x2,y1) y2 = fR(x1,x2)
En en lado izquierdo, los parámetros son a0,a1,a2,b0,b1 y b2; mientras que en lado derecho son c0,c1,c2,c3,c4,c5 y c6
Cabe precisar que no necesariamente se tendrá la misma cantidad de parámetros en la forma reducida que en la forma estructural. Además recuérdese que los coeficientes ci dependen de los coeficientes a y b. ci = f(ai,bi)
Este punto es muy importante: Si bien se puede estimar la ecuación reducida y así obtener los coeficientes de la misma (ci), no siempre se pueden utilizar éstos para calcular a su vez los coeficientes ai y bi.
c0 = (a0+a3b0)/(1-a3b3)
c1 = a1/(1-a3b3)
c2 = a3b2/(1-a3b3)
c3 = b0+b3c0 = b0+b3(a0+a3b0)/(1-a3b3)
c4 = b3c1 = b3a1/(1-a3b3)
c5 = b2+b3c2 = b2+b3a3b2/(1-a3b3)
Se tienen 6 ecuaciones ¿independientes? y 6 incógnitas.
Invirtiendo las relaciones, el resultado sería
be3 = c4/c1
be0 = c3-b3c0 = c3-(c4/c1)c0
be2 = c5-b3c2 = c5-(c4/c1)*c2
ae3 = (c2/b2)(1-a3b3)=(c2-a3b3c2)/b2 = c2/b2-a3b3c3/b2
a3+a3b3c3/b2 = a3(1+c2b3/b2) = c2/b2
a3 = (c2/b2)/(1+c2b3/b2)
ae1 = c1(1-ae3be3)
ae0 = c0(1-ae3be3)-ae3be0
Puede observarse que habría una solución exacta para ai y bi
Dado que estimar 6 coeficientes en forma reducida para hallar otros 6 coeficientes en forma estructural puede ser una tarea bastante trabajosa, se suele usar matrices y vectores, lo cual se verá en las sesiones siguientes.
Supóngase un ejemplo más sencillo (Recursivo), tal que:
y1 = a1x1+a2y2
y2 = a3x2
La fórmula reducida sería:
y1 = a1x1+a2a3x2 = c1x1+c2x2, c1=a1, c2=a2a3
y2 = c3x3, a3=c3
¿Se puede calcular a2? Si. a2 = c2/a3 = c2/c3
¿Y si se agrega un coeficiente en la ecuación 2?
y1 = a1x1+a2y2
y2 = a4 + a3x2
La forma reducida sería:
y1 = a1x1+a2(a4+a3x2) = c1+c2x1+c3x2
y2 = a4+a3x2 = c4+c5x2
Nótese que se tienen 5 coeficientes ci, pero sólo 4 coeficientes ai . Es decir, ya no hay la misma cantidad. ¿Qué implica esto?
c1=a2a4, c2=a1, c3=a2a3, c4=a4, c5=a5.
Entonces, a1=c2, a3=c3, a2=c2/c3, a4=c4
¿Y si se agrega un coeficiente en la ecuación 1?
y1 = a1+a2x1+a3y2
y2 = a4x2
La forma reducida sería:
y1 = a1+a2x1+a3a4x2 = c1+c2x1+c3x2
y2 = a4x2 = c4x2
Nótese que se tienen 3 coeficientes ci, pero 4 coeficientes ai . Es decir, ya no hay la misma cantidad. ¿Qué implica esto?
c1=a1, c2=a2, c3=a3a4, c4=a4.
Entonces, a1=c1, a2=c2, a4=c4, a3=c3/c3
¿Y si se agrega un coeficiente en la ecuación 1 y 2?
y1 = a1+a2x1+a3y2
y2 = a4+a5x2
La forma reducida sería:
y1 = (a1+a3a4)+a2x1+a3a5x2 = c1+c2x1+c3x2
y2 = a4+a5x2 = c4+c5x2
Nótese que se tienen 5 coeficientes ci, 5 coeficientes ai . Es decir, hay la misma cantidad. ¿Qué implica esto?
c1=a1+a3a4, c2=a2, c3=a3a5, c4=a4.c5=a5
Entonces, a2=c2, a4=c4, a5=c5, a3=c3/c5, a1=c1-(c3/c5)c4
Puede observarse entonces que las ecuaciones recursivas y con exclusión de exógenas, tienen una tendencia a estar identificadas. Lo que importa más son las variables.
Aunque lo conveniente es usar una prueba más formal: La condición de orden.
Sea K el número de variables exógenas del modelo estructural
Sea k el número de variables exógenas de la ecuación.
Sea m el número de variables endógenas de la ecuación
Entonces si K - kG = mG - 1, donde G es la ecuación, la ecuación está exactamente identificada.
En los sistemas evaluados se tiene lo siguiente:
y1 = f(x1,y2) e y2 = f(x2)
K = 2, k1 = 1, m1=2 → 2-1 = 2-1 → Exacta Id
K=2, k2 = 1, m2=1 → 2-1 > 1-1 = 0 → Sobre Id
y1 = f(x1,y2) e y2 = f(x2,y1)
K = 2, k1 = 1, m1=2 → 2-1 = 2-1 → Exacta Id.
K = 2, k2 = 1, m2=2 → 2-1 = 2-1 → Exacta Id
y1 = f(x1,x2,y2) e y2 = f(x2,y1)
K = 2, k1 = 2, m1=2 → 0 = 2-1 → Sub Id.
K = 2, k2 = 1, m2=2 → 2-1 = 2-1 → Exacta Id
Y si se cambiara
y1 = f(x1,x2,y2) e y2 = f(x1,x2,y1)
K = 2, k1 = 2, m1=2 → 0 <2-1 → Sub Id
K=2, k2 = 2, m2=2 → 0 < 1 → Sub Id
Otro caso:
y1=f(x1,y2,y3),y2=f(x1,x2,y3),y3=f(x1,x2,y1),y4=f(x3,y1,y2)
x1,x2,x3,y1,y2,y3,y4 → nx>ny
K=3, k1=1, m1=3, 3-1 = 3-1 → Exact Id
K=3, k2=2, m2=2, 3-2 = 2-1 → Exact Id
K=3, k3=1, m3=2, 3-2 = 2-1 → Exact Id
K=3, k4=1, m4=3, 3-1= 3-1 → Exact Id
Sea XEG = K-kG y REG =mG-1, la condición de orden simplifica en que:
XEG = REG → Ecuación exactamente identificada
XEG > REG → Ecuación sobre identificada
XEG < REG → Ecuación subidentificada
Así mismo, la problemática de la identificación es más notoria en modelos con más de dos ecuaciones.
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