Martin C, J.M. (2020) La Identificación en los modelos económicos

José-Manuel Martin Coronado
Instituto de Econometría de Lima

En términos sencillos, la identificación de un modelo económico implica saber si hay suficientes variables exógenas para las variables endógenas elegidas, en un modelo multiecuacional. 

A veces pueden haber más variables exógenas de las necesarias. Y a veces pueden haber menos variables exógenas de lo necesario.  

Existen muchas combinaciones posibles. 
  • Por ejemplo, se puede tener varios modelos con las mismas exógenas pero con diferente exógena. (1) SUR
      • y1 = a0+a1x1+a2x2  

      •  y2 = b0+b1x1+b2x2 

  • O por ejemplo, se puede tener varios modelos con regresores endógenos, además de lo indicado anteriormente. (2) (Cruzadas ó Simultánea sin exclusión)

      • y1 = a0+a1x1+a2x2 + a3y2

      • y2 = b0+b1x1+b2x2 + b3y1

    • O también, se puede tener varios modelos con regresores endógenos, pero no con las mismas exógenas (3).

      • y1 = a0+a1x1+ a3y2

      • y2 = b0+b2x2 + b3y1

      • (simultánea con exclusión)

    • Incluso, se puede tener varios modelos con regresores endógenos pero solo en una misma ecuaciòn, pero con las mismas exógenas (4). (Recursiva sin exclusión)

      • y1 = a0+a1x1+a2x2+ a3y2

      • y2 = b0+b1x1 +b2x2 

    • O sino, con diferentes exógenas (5). (Rec. con exclusión)

      • y1 = a0+a1x1+a2x2+ a3y2

      • y2 = b0+b1x1 

  • Puede observarse que los modelos multiecuacionales puede encuadrarse en esos cuatro (05) tipos.


  • Por lo tanto corresponde averiguar, cuáles de esos cinco modelos se encuentran identificados, cuales sobreidentificados o cuales subidentificados. 

  • Nótese que este caso se está analizando cuando existe más de una endógena el lado izquierdo de la ecuación. Aunque dicha condición no es necesaria para que exista un modelo multiecuacional. Por ejemplo (6):

    • y = a0+a1x1

    • y = b0+b1x1

  • Aunque puede verse que esto implica dos relaciones ecuacionales distintas pero sólo dos variables, tomando en cuenta que todos los coeficientes son diferentes. 

  • Este es entonces un típico caso de subidentificación. Esto es justamente que puede haber más de una solución a los coeficientes que relacionan a los modelos. ¿Existe esto en la práctica?  Claramente :

    • Oferta: Q = a+bP    y  Demanda: Q = c-dP.

  • La solución de este modelo subidentificado es su forma reducida que da valor fijo para cada variable, llamado punto de equilibrio. 

    • a + bP = c-dP → bP+dP = c-a → P(b+d) = (c-a)

    • Entonces  P = (c-a)/(b+d)

    • Luego Q = a+b(c-a)/(b+d) = (ad+bc)/(b+d)

  • Sea el ejemplo (3), endógenas cruzadas (también conocido como modelo simultáneo) con exógenas excluidas, tal que:

    • y1 = a0+a1x1+ a3y2

    • y2 = b0+b2x2 + b3y1

  • Puede observarse que la ecuación 1, excluye a la exógena x2, mientras que la ecuación 2, excluye a la exógena x1.

  • Si se reemplaza la segunda ecuación en la primera (lo cual es opcional, podría hacerse al revés), entonces:

    • y1 = a0+a1x1+ a3(b0+b2x2+b3y1)

    • y1 = a0+a1x1+ a3b0+a3b2x2+a3b3y1

    • y1 - a3b3y1 = a0+a1x1+ a3b0+a3b2x2y1 

    • y1= (a0+a1x1+ a3b0+a3b2x2)/(1-a3b3)

    • y1 = (a0+a3b0)/(1-a3b3)+a1/(1-a3b3)x1+ [a3b2/(1-a3b3)]x2

    • y1 = c0+c1x1+ c2x2

  • Puede observarse que al hacer el reemplazo, la aparente exclusión, desapareció. Se ha pasado de una forma estructural (con restricciones ó exclusión) a una forma reducida (sin exclusiones). [Esto no quiere decir que toda ecuación sin exclusiones sea una forma reducida] 

  • Luego, se reemplaza y1 en la ecuación de y2:

    • y2 = b0+b2x2 + b3(c0+c1x1+ c2x2)

    • y2 = (b0+b3c0)+b3c1x1+(b2+b3c2)x2 = c3+c4x1+c5x2

  • Como se recordará este procedimiento es similar al de las funciones anidadas que permiten la estimación indirecta de coeficientes.

  • Básicamente, se ha realizado el siguiente proceso:

    • y1 = fE(x1,y2) y1 = fR(x1,x2)

    • y2 = fE(x2,y1) y2 = fR(x1,x2)

  • En en lado izquierdo, los parámetros son  a0,a1,a2,b0,b1 y b2; mientras que en lado derecho son c0,c1,c2,c3,c4,c5 y c6

  • Cabe precisar que no necesariamente se tendrá la misma cantidad de parámetros en la forma reducida que en la forma estructural. Además recuérdese que los coeficientes ci dependen de los coeficientes a y bci = f(ai,bi)

  • Este punto es muy importante: Si bien se puede estimar la ecuación reducida y así obtener los coeficientes de la misma (ci), no siempre se pueden utilizar éstos para calcular a su vez los coeficientes ai y bi.

    • c0 = (a0+a3b0)/(1-a3b3)

    • c1 = a1/(1-a3b3)

    • c2 = a3b2/(1-a3b3)

    • c3 = b0+b3c0 = b0+b3(a0+a3b0)/(1-a3b3

    • c4 = b3c1 = b3a1/(1-a3b3)

    • c5 = b2+b3c2 = b2+b3a3b2/(1-a3b3)

  • Se tienen 6 ecuaciones ¿independientes? y 6 incógnitas.

  • Invirtiendo las relaciones, el resultado sería

    • be3 = c4/c1

    • be0 = c3-b3c0 = c3-(c4/c1)c0

    • be2 = c5-b3c2 = c5-(c4/c1)*c2

    • ae3 = (c2/b2)(1-a3b3)=(c2-a3b3c2)/b2 = c2/b2-a3b3c3/b2

      • a3+a3b3c3/b2 = a3(1+c2b3/b2) = c2/b2

      • a3 = (c2/b2)/(1+c2b3/b2)

    • ae1 = c1(1-ae3be3)  

    • ae0 = c0(1-ae3be3)-ae3be0

  • Puede observarse que habría una solución exacta para ai y bi

  • Dado que estimar 6 coeficientes en forma reducida para hallar otros 6 coeficientes en forma estructural puede ser una tarea bastante trabajosa, se suele usar matrices y vectores, lo cual se verá en las sesiones siguientes.

    • Supóngase un ejemplo más sencillo (Recursivo), tal que:

      • y1 = a1x1+a2y2

      • y2 = a3x2

    • La fórmula reducida sería:

      • y1 = a1x1+a2a3x2 = c1x1+c2x2, c1=a1, c2=a2a3

      • y2 = c3x3, a3=c3

    • ¿Se puede calcular a2? Si. a2 = c2/a3 = c2/c

  • ¿Y si se agrega un coeficiente en la ecuación 2?

    • y1 = a1x1+a2y2

    • y2 = a4 + a3x2

  • La forma reducida sería:

    • y1 = a1x1+a2(a4+a3x2) = c1+c2x1+c3x2

    • y2 = a4+a3x2 = c4+c5x2

  • Nótese que se tienen 5 coeficientes ci, pero sólo 4 coeficientes ai . Es decir, ya no hay la misma cantidad. ¿Qué implica esto?

    • c1=a2a4, c2=a1, c3=a2a3, c4=a4, c5=a5.

  • Entonces, a1=c2, a3=c3, a2=c2/c3, a4=c4

  • ¿Y si se agrega un coeficiente en la ecuación 1?

    • y1 = a1+a2x1+a3y2

    • y2 = a4x2

  • La forma reducida sería:

    • y1 = a1+a2x1+a3a4x2 = c1+c2x1+c3x2

    • y2 = a4x2 = c4x2

  • Nótese que se tienen 3 coeficientes ci, pero 4 coeficientes ai . Es decir, ya no hay la misma cantidad. ¿Qué implica esto?

    • c1=a1, c2=a2, c3=a3a4, c4=a4.

  • Entonces, a1=c1, a2=c2, a4=c4, a3=c3/c3

  • ¿Y si se agrega un coeficiente en la ecuación 1 y 2?

    • y1 = a1+a2x1+a3y2

    • y2 = a4+a5x2

  • La forma reducida sería:

    • y1 = (a1+a3a4)+a2x1+a3a5x2 = c1+c2x1+c3x2

    • y2 = a4+a5x2 = c4+c5x2

  • Nótese que se tienen 5 coeficientes ci, 5 coeficientes ai . Es decir, hay la misma cantidad. ¿Qué implica esto?

    • c1=a1+a3a4, c2=a2, c3=a3a5, c4=a4.c5=a5

  • Entonces, a2=c2, a4=c4, a5=c5, a3=c3/c5, a1=c1-(c3/c5)c4

  • Puede observarse entonces que las ecuaciones recursivas y con exclusión de exógenas, tienen una tendencia a estar identificadas. Lo que importa más son las variables.

  • Aunque lo conveniente es usar una prueba más formal: La condición de orden.

    • Sea K el número de variables exógenas del modelo estructural

    • Sea k el número de variables exógenas de la ecuación.

    • Sea m el número de variables endógenas de la ecuación 

    • Entonces si K - kG = mG - 1, donde G es la ecuación, la ecuación está exactamente identificada.  

  • En los sistemas evaluados se tiene lo siguiente:

    • y1 = f(x1,y2) e y2 = f(x2) 

      • K = 2, k1 = 1, m1=2 → 2-1 = 2-1 → Exacta Id

      • K=2, k2 = 1, m2=1 → 2-1 > 1-1 = 0 → Sobre Id 

    • y1 = f(x1,y2) e y2 = f(x2,y1)

      • K = 2, k1 = 1, m1=2 → 2-1 = 2-1 → Exacta Id.

      • K = 2, k2 = 1, m2=2 → 2-1 = 2-1 → Exacta Id

    • y1 = f(x1,x2,y2) e y2 = f(x2,y1)

      • K = 2, k1 = 2, m1=2 → 0 = 2-1 → Sub Id.

      • K = 2, k2 = 1, m2=2 → 2-1 = 2-1 → Exacta Id

  • Y si se cambiara

    • y1 = f(x1,x2,y2) e y2 = f(x1,x2,y1) 

      • K = 2, k1 = 2, m1=2 → 0 <2-1 → Sub Id

      • K=2, k2 = 2, m2=2 → 0 < 1  → Sub Id 

  • Otro caso: 

    • y1=f(x1,y2,y3),y2=f(x1,x2,y3),y3=f(x1,x2,y1),y4=f(x3,y1,y2)

      • x1,x2,x3,y1,y2,y3,y4 →  nx>ny

      • K=3, k1=1, m1=3, 3-1 = 3-1 → Exact Id

      • K=3, k2=2, m2=2, 3-2 = 2-1 → Exact Id

      • K=3, k3=1, m3=2, 3-2 =  2-1 → Exact Id

      • K=3, k4=1, m4=3, 3-1= 3-1 → Exact Id

Puede concluirse que los que se está comparando es el número de exógenas excluidas de la ecuación (K-kG)frente al número de regresores endógenos (mG-1) en cada ecuación.

Sea XEG = K-kG  y REG =mG-1, la condición de orden simplifica en que:
    • XEG = REG Ecuación exactamente identificada

    • XEG > REG Ecuación sobre identificada

    • XEG < REGEcuación subidentificada

Puede notarse que la identificación, en este caso, se analiza en función de cada ecuación.

Así mismo, la problemática de la identificación es más notoria en modelos con más de dos ecuaciones. 

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