Controlando la Autocorrelación: Un modelo autoregresivo restringido [MARTIN, 2022]

Mg. José-Manuel Martin Coronado

Instituto de Econometría de Lima 

EMECEP Consultorías Económicas

Es sabido que en econometría, los problemas econométricos no son binarios (existe o no existen), sino que son un problema de grado. Si bien las pruebas de hipótesis, y los valores críticos, permiten identificar los problemas estadísticos, éstos en realidad nos dicen si tales son significativos (relevantes) o "insignificantes".

Un problema muy común en la econometría es la autocorrelación, que es básicamente la correlación estadística entre los errores. Se dice estadística, pues conceptualmente los errores siempre pueden estar correlacionados, pero no es sino cuando se convierte en realidad numérica que genera un problema en el modelo. 

Desde un enfoque económico, también puede decirse que las variables se encuentran relacionadas consigo mismas en el tiempo, lo cual dio vida al concepto de modelo autoregresivo, luego los modelos ARIMA y posteriormente a los modelos de vectores autoregresivos (ARIMA). Este enfoque es complementario a los modelos de tendencia, expresados como ecuaciones diferenciales con la variable tiempo. 

A pesar de su simpleza, los modelos autoregresivos de orden 1, AR(1), son bastante utilizados en la literatura para ejemplificar relaciones intertemporales concretas, lo cual no tiene porque afectar la coexistencia con un modelo de tendencia o un modelo causal dinámico. En otras palabras y_t = f(t,y_t-1, x_t, x_t-1), lo cual se puede denominar, modelo autoregresivo dinámico puro con tendencia. 

No obstante, el problema de estos modelos, sobre todo si se agregan variables adicionales (z,w, etc) puede generar una "sobrecarga ecuacional" de modo que las variables se vuelvan no significativas, a pesar de serlo en el análisis bivariable (pairwise). En efecto, la inclusión del elemento autoregresivo es uno de los principales causantes de la "explosión" del ajuste

El problema radica en que una regresión simple, por ejemplo un MCO, solamente se encarga de minimizar los errores al cuadrado, considerando las variables especificadas en el modelo. Y usualmente, al incluir el elemento autoregresivo el error se reduce significativamente, muy por debajo del mínimo obtenido en un modelo no autoregresivo. Así esta ganancia de error y de menor autoregresividad viene con un costo: la no significancia de las variables exógenas. 

¿Pero que ocurriría si se pudiera controlar la importancia de la inclusión del término autoregresivo? En términos sencillos, incluirlo parcialmente. Es decir, controlar en cierta medida el tamaño del coeficiente de regresión de dicho término, a través de la conocida técnica de mínimo cuadrados restringidos (MCR). No sólo se evitaría sobrecargar la ecuación, sino que también se podría controlar la autocorrelación, en la medida que dicho coeficiente sea calibrado adecuadamente. Cabe reiterar que el error en tal caso es probablemente menor que si no se incluyera el mencionado término, pero el control de la autocorrelación permitiría aproximar una minimización o reducción.

De este modo, la calibración podría iniciarse con el 50% del coeficiente multivariable del término autoregresivo e ir incrementándose de modo que reduzca la autocorrelación hasta un nivel no significativo. La significancia de dicho coeficiente es innegable, salvo en casos de modelos que no tengan el problema de la autocorrelación claro, por lo que su inclusión no es artificial. La dificultad está en que el coeficiente no genere otras distorsiones no previstas (i.e. cambio de signo, entre otros errores de tipo) y siempre en la medida que nos encontremos en el marco de modelos uniecuacionales básicos. 

Obviamente existen otros problemas potenciales, más conceptuales que numéricos (i.e. la endogeneidad potencial), pero que no necesariamente son reales, si es que un modelo estrictamente autoregresivo por sí solo ya funciona. Todo está en visualizar los residuos resultantes, si efectivamente son white noise.  Por supuesto, que no corresponde abusar de esta técnica para órdenes de autoregresividad mayores, pues sería un caso más de trade off econométrico, por la potencial aparición de la multicolinealidad.